Il paradosso di Zenone: perché Achille non può raggiungere la tartaruga?

Il paradosso di Zenone: perché Achille non può raggiungere la tartaruga?

Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro. Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro. Percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro. Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro. Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito. Di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla.

Così il grande scrittore Jorge Luis Borges  raccontava il più noto paradosso di Zenone, quello di Achille e la tartaruga, riportato per primo da Aristotele, e soggetto a mille variazioni nella storia della nostra cultura.

Gli argomenti di Zenone di Elea contro il movimento, esposti in forma di paradosso, affascinavano Borges, che da scrittore fantastico non li considerava problemi da risolvere, ma conferma “poetica” della irrealtà del mondo.

Il paradosso di Zenone: perché Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga?

Il paradosso è ridicolo per il senso comune, ma impegnativo per il ragionamento logico. Mettiamola ancora più semplice di come fa Borges. Achille e la tartaruga fanno una gara di corsa: devono percorrere un metro. Achille concede nobilmente alla tartaruga un certo vantaggio: mezzo metro. Partono. Percorso mezzo metro, Achille non ha raggiunto la tartaruga che nel frattempo ha percorso 1/4 di metro. Avanzato ulteriormente di 1/4 di metro, ancora non l’avrà raggiunta, perché nel frattempo la tartaruga avrà percorso 1/8 di metro. E così via all’infinito. Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

“Il più lento mai sarà ripreso nella sua corsa dal più veloce”, chiosa Aristotele. Le cose importanti di questa storia sono soprattutto due. Il vantaggio iniziale concesso da Achille, e il “così via all’infinito”.

Ci sembra già tanto che, a un certo punto di questa gara surreale, i due particolari “atleti” riescano a muoversi. Infatti, qualunque sia il tempo trascorso dal via (chiamiamolo T), c’è una quantità di tempi corrispondenti ciascuno a un avanzamento di Achille verso la tartaruga, la cui somma è inferiore a T. La somma dei “tempi” di Achille si avvicina sempre più a T, ma non lo raggiunge. Vi si avvicina “quanto si vuole”, senza raggiungerlo: la somma degli infiniti avanzamenti di Achille è infinita.

Lo scopo degli argomenti di Zenone, attraverso il regresso all’infinito, era difendere le posizioni del maestro Parmenide, per cui il divenire, attestato dai sensi, è illusione. Il movimento dunque, nei paradossi di Zenone, è un’illusione: non è possibile partire, muoversi, arrivare da qualche parte.

Achille e la tartaruga nell’immaginazione dei grandi scrittori

Il matematico fiammingo del XVII secolo Gregorio di San Vincenzo, dopo duemila anni, offrì una soluzione matematica al paradosso di Zenone. Mostrò che la somma di un infinito numero di intervalli finiti di spazio e tempo può anche essere finita. La somma dei passi di Achille (1/2 + 1/4 + 1/8 +…) tende a 1: è una serie convergente. Achille può raggiungere matematicamente la tartaruga.

A prescindere dalle sue soluzioni, il paradosso di Zenone ha avuto molta fortuna nella letteratura, da Laurence Sterne, che in Vita e opinioni di Tristram Shandy gentiluomo afferma l’impossibilità di scrivere la propria autobiografia completa, a Lewis Carroll. Il prete e matematico inglese autore di Alice nel paese delle meraviglie scrisse nel 1895 il saggio brevissimo e divertente “Ciò che la tartaruga disse ad Achille”, di cui si parla anche in Gödel. Escher, Bach di Hofstadter

Carroll sfrutta il paradosso di Zenone per escogitare un altro paradosso sull’impossibilità dei sillogismi. La tartaruga e Achille hanno terminato la gara, siedono, e l’animale, forse per vendicarsi del fatto di essere stato finalmente raggiunto, cerca di far contemplare all’eroe la verità della prima proposizione di Euclide esaminando premesse e conseguenze. Tuttavia, interrompe la tartaruga: non si può dedurre da due premesse (A e B) la verità di una proposizione (Z) senza accettare un’altra proposizione (D), che indica la regola deduttiva. Ma per accettare quest’ultima, bisogna accettarne un’altra (E), che indica un’altra regola deduttiva, cioè che siamo d’accordo con le altre tre (A, B, e D). E così via in un regresso all’infinito, perché mesi dopo la tartaruga e Achille, stressatissimo, sono ancora lì a contare le proposizioni.

Il paradosso di Zenone tra Borges e Kafka

Ritroviamo valenze allegoriche e sfumature di assurdo ispirate al paradosso di Zenone in molti racconti di Borges. Come “La morte e la bussola” (da Finzioni), in cui un investigatore deve risolvere una serie di omicidi, o il misterioso “La scrittura del Dio”, in L’Aleph. Ma un’autentica trasformazione del paradosso di Achille e la tartaruga in metafora esistenziale è il racconto di Franz Kafka intitolato Un messaggio dell’imperatore. Lo puoi leggere per intero qui.

L’imperatore – così si dice – ha inviato a te, al singolo, all’umilissimo suddito […] un messaggio dal suo letto di morte. Ha fatto inginocchiare il messaggero accanto al letto e gli ha bisbigliato il messaggio nell’orecchio […]. Il messaggero s’è messo subito in cammino. Un uomo robusto, instancabile. Stendendo a volte un braccio, a volte l’altro, fende la moltitudine. […] Egli avanza facilmente come nessun altro. Ma la moltitudine è enorme; le sue abitazioni non finiscono mai. Come volerebbe se potesse arrivare in aperta campagna, e presto udresti il meraviglioso bussare dei suoi pugni al tuo uscio. Invece si affatica quasi senza scopo. Si dibatte ancora lungo gli appartamenti del palazzo interno.

Non li supererà mai, e se anche ci riuscisse nulla sarebbe ancora raggiunto. Dovrebbe lottare per scendere scale, e se anche ci riuscisse nulla sarebbe ancora raggiunto. Bisognerebbe attraversare i cortili, e dopo i cortili il secondo palazzo che racchiude il primo. Altre scale, altri cortili; e così via per millenni; e se riuscisse infine a sbucare fuori dal portone più esterno […] si troverebbe ancora davanti la capitale, il centro del mondo, ricoperta da tutti i suoi rifiuti. Nessuno può uscirne fuori e tanto meno col messaggio di un morto. Tu, però, stai alla tua finestra e lo sogni, quando scende la sera.

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